اعداد سیاهچاله ای
هوالعلیم
رياضيات جادويي
واژه اي است كه به تردستي هاي رياضيو شعبده هاي رياضي اطلاق مي شود. نامدارترين كسي كه در اين
زمينه فعاليت كرد، مارتين گاردنر است. در ميان كارهاي وي، گاردنر
سياهچاله ي 4 را معرفي مي كند:
با يك عدد طبيعي شروع كنيد. آن را به صورت حرفي (در زبان انگليسي)
بنویسید مانند FIVE و تعداد حر فها را بشماريد: میشود 4 .
اكنون آن را به صورت حرفی
بنويسيد FOURكه تعداد حر فهايش 4 است. در اين حالت ادامه ي
اين فرايند همچنان 4 را نتيجه ميدهد. در مثال ديگر، به ازاي 163 داريم
ONE HUNDRED AND SIXTY THREE
كه 23 حرف دارد و تعداد حر فهاي
TWENTY THREE برابر 11 است
و ELEVEN دارای 6 حرف است و به همین ترتیب SIX دارای سه حرف است
و THREE دارای پنج حرف است و در نهایت FIVE که دارای چهار حرف است
عدد 4 بدست می آید.
گاردنر عدد 4 را سياهچاله ي زبان انگليسي معرفي مي كند. به نظر
می رسد در زبان فارسي سياهچاله منحصر به فرد نيست زيرا 2 و 4 هر
دو می توانند چنين باشند (بررسي كنيد!)
سياهچاله چيست؟ مفهوم عام آن همان است كه در فيزيك وجود
دارد. اما ارائه يك تعريف دقيق براي آن لازم است.
تعریف: سیاهچاله یک سه تایی
(b, U, f) است که b عضویاز مجموعه U است و f: U → U تابعی است با دو ویژگی زیر:
f(b)=b (1
2) به ازای هر x در U عدد طبیعی مانند K وجود دارد
به طوری که f^k (x) =b
با كمك اين تعريف رسمي، چند سياهچاله در رياضيات جادويي را
معرفي مي كنيم.
دنباله 123
با يك عدد طبيعي دلخواه شروع كنيد، براي مثال 13880322 به ترتيبتعداد رقم هاي زوج، تعداد رقم هاي فرد، و تعداد كل رقم ها را بنويسيد. در
مثال 5 (رقم زوج)، 3 (رقم فرد) و 8 (كل رقمها) عدد 538 به دست مي آيد.
اكنون اين كار را براي 538 تكرار كنيد: 1 (زوج)، 2 (فرد) و 3 (كل) كه 123
خواهد شد
اگر براي 123 تكرار كنيد همان 123 را به دست مي آوريد.
عدد 123 سياهچاله ي دنياي اعداد در رياضيات جادويي است! هيچ عددي
نمي تواند از اين فرايند كه به 123 منجر مي شود بگريزد!!!
ثابت 6174
با هر عدد چهار رقمي دلخواهي كه مضرب 1111 نيست، شروع كنيد(چهار رقم همانند را كنار هم نگذاريد). رقمهاي عددتان را از كوچك به
بزرگ مرتب كنيد و از مغلوب آن (از بزرگ به كوچك) كم كنيد. براي مثال
2646 شروع کنید. داریم 4176=2466-6642 اکنون با عدد 4176 این کار
را تکرار کنید 6174 = 1467-6174 و عدد 6174 به همان عدد منجر
می شود:
6174 = 1467 - 7641 یعنی عدد 6174 یک سیاهچاله است
امتحان كنيد! هر عددي در اين فرايند به 6174 می انجامد.
عدد 15
با هر عدد طبيعي بزر گتر از 1 شروع كنيد. تمام مقسوم عليه هايعدد را بنويسيد. حاصل جمع رقم هاي تمام اين عددها را به دست آوريد.
اين فرايند را براي عدد حاصل تكرار كنيد.
سياهچاله ي اين فرايند، عدد 15 است. مقسو م عليه هاي آن 1
و 3 و 5 و 15 است كه حاصل جمع رقم هاي آ نها برابر با 15 است.
خودتان هر عدد ديگري را امتحان كنيد!
ثابت 312
هر عددي دوست داريد در نظر بگيريد ( مثلا عدد 674328 )
تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( در اين مثال 6 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد
( تعداد زوجها 4 است پس داريم 64 )
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد
( تعداد فردها 2 است پس داريم 642 )
هم اکنون عدد 642 را داريم با اين عدد نيز مراحل بالا را تکرار کرده
تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( 3 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد
( تعداد زوجها 3 است پس داريم 33 )
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد
( تعداد فردها 0 است پس داريم 330 )
حالا براي عدد 330 اين کار را انجام مي دهيم
تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( 3 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد
( تعداد زوجها 1 است پس داريم 31)
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد
( تعداد فردها 2 است پس داريم 312 )
در اين مثال مشاهده نموديم که آ خر به 312 رسيديم
ما ادعا مي کنيم که هر عدد طبيعي با اين روال به 312 ختم مي شود
باور نداريد امتحان کنيد.
مسئله اي حل نشده در سياهچاله ها
با يك عدد طبيعي شروع كنيد. اگر فرد بود به سه برابر آن يك واحد
اضافه كنيد و اگر زوج بود آن را نصف كنيد. اين فرايند را براي نتيجه تكرار
كنيد براي مثال با ۱۲ شروع كنيد داريم 6 ، سپس 3 و بعد 10 و 5 و 16 و 8
و 4 و 2 و 1، تمام.
در واقع ادعا آن است كه با هر عددي شروع كنيد به 1 مي رسيد! تاكنون
كسي موفق نشده است اين حكم را اثبات كند و مثالي هم براي رد
اين ادعا پيدا نشده است.
اين مسئله به نام حدس كولاتز
شهرت دارد. 
